Шпаргалки

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
ax²+bx+c=0
     Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap×bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a

 Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a¹0)
x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1×x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x1,2  = -k±Ö(k²-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
Ö((x2-x1)²-(y2-y1)²)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga  x = b;  x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1
logbx = (logax)/(logab)
     

Прогрессии

А

рифметическая

an = a1 +d(n-1) Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n

Геометрическая bn = bn-1 × q b2n = bn-1× bn+1 bn = b1×qn-1 Sn = b1 (1- qn)/(1-q) S= b1/(1-q) Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (p-a) = sin a sin (p/2 -a) = cos a cos (p/2 -a) = sin a cos (a + 2pk) = cos a sin (a + 2pk) = sin a tg (a + pk) = tg a ctg (a + pk) = ctg a sin² a + cos² a =1 ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ 1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2 1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn

Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y ¹ p/2 + pn tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y ¹ p/2 + pn

Формулы двойного аргумента. sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 = = 1-2 sin²a tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a) 1+ cos a = 2 cos² a/2 1-cosa = 2 sin² a/2 tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2))

Ф-лы половинного аргумента. sin² a/2 = (1 - cos a)/2 cos²a/2 = (1 + cosa)/2 tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a a¹ p + 2pn, n ÎZ

Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— cos x cos y sin (x - y) tg x - tgy = ————— cos x cos y

Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2x) sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a) cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a) ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a cos3a = 4cos³a-3 cosa= = cos³a-3cosasin²a tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a) ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1) sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2) cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2) tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))= sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))= sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina sin(arcsin a) = a cos( arccos a) = a tg ( arctg a) = a ctg ( arcctg a) = a arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2] arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p] arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2] arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p] arcsin(sina)= 1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk] 2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk] arccos (cosa) = 1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p] 2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk] arctg(tga)= a-pk aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk) arcctg(ctga) = a -pk aÎ(pk; (k+1)p) arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa = = arctg a/Ö(1-a²) arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a= = arc ctga/Ö(1-a²) arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga = = arcsin a/Ö(1+a²) arc ctg a = p-arc cctg(-a) = = arc cos a/Ö(1-a²) arctg a = arc ctg1/a = = arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²) arcsin a + arccos = p/2 arcctg a + arctga = p/2


. Геометрия
 Треугольники 
 a + b + g =180 Теорема синусов a² = b²+c² - 2bc cos a b² = a²+c² - 2ac cos b c² = a² + b² - 2ab cos g Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=½(a+b+c) _____________ S = Öp(p-a)(p-b)(p-c) S = ½ab sin a S_равн.=(a²Ö3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr  
Трапеция.
 S = (a+b)/2× h Круг S= pR² S_{сектора}=(pR²a)/360

 Стереометрия
  Параллепипед V=S_осн×Р
 Прямоугольный V=abc
 Пирамида V =1/3S_осн.×H S_полн.= S_бок.+ S_осн. Усеченная : H . _____ V = 3 (S₁+S₂+ÖS₁S₂) S₁ и S₂ — площади осн. S_полн.=S_бок.+S₁+S₂ Конус V=1/3 pR²H S_бок. =pRl S_бок.= pR(R+1) Усеченный S_бок.= pl(R₁+R₂) V=1/3pH(R₁²+R₁R₂+R₂²) Призма V=S_осн.×H прямая: S_бок.=P_осн.×H S_полн.=S_бок+2S_осн. наклонная : S_бок.=P_пс×a V = S_пс×a, а -бок. ребро. P_пс — периметр S_пс — пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=pR²H ; S_бок.= 2pRH S_полн.=2pR(H+R) S_бок.= 2pRH Сфера и шар . V = 4/3 pR³ - шар S = 4pR³ - сфера Шаровой сектор V = 2/3 pR³H H - высота сегм. Шаровой сегмент V=pH²(R-H/3) S=2pRH